綜合練習與理解度檢查
交替解答數值計算與概念性問題，從頭到尾確認 1 維純量版卡爾曼濾波器的流程。
最後以綜合題目收尾。請交替解答數值計算與概念性問題，把 1 維純量版卡爾曼濾波器的流程整個走過一遍。
綜合練習的做法
請依「先追數字 → 再判斷設定的意義」的順序作答。手算題把中間算式寫在紙上會更容易內化。題目以 Q1〜Q12 連續編號排列。
綜合練習 1 — 把第 1 步從頭到尾跑一遍（Q1〜Q4）
以初始值 x̂₀ = 0、P₀ = 3、Q = 1、R = 4、首個觀測 z₁ = 8，把預測 → 更新的流程追蹤一次。
Q1. Q1: 預測變異數 P₁⁻ = P₀ + Q 是多少？
P₁⁻ = 3 + 1 = 4。
Q2. Q2: 卡爾曼增益 K₁ = P₁⁻ / (P₁⁻ + R) 是多少？
K₁ = 4 / (4 + 4) = 0.5。
Q3. Q3: 更新後的估計值 x̂₁ 是多少？
觀測與預測的差是 8 − 0 = 8，因此 x̂₁ = 0 + 0.5 × 8 = 4。
Q4. Q4: 更新後的變異數 P₁ 是多少？
P₁ = (1 − 0.5) × 4 = 2。
綜合練習 2 — 延續到第 2 步（Q5〜Q8）
使用上題的結果 x̂₁ = 4、P₁ = 2，處理第 2 次觀測 z₂ = 6。
Q1. Q5: 預測變異數 P₂⁻ 是多少？
P₂⁻ = 2 + 1 = 3。
Q2. Q6: 卡爾曼增益 K₂ 是多少？
K₂ = 3 / (3 + 4) ≈ 0.4286。
Q3. Q7: 更新後的估計值 x̂₂ 是多少？
觀測與預測的差是 6 − 4 = 2，因此 x̂₂ ≈ 4 + 0.4286 × 2 ≈ 4.8571。
Q4. Q8: 更新後的變異數 P₂ 是多少？
P₂ ≈ (1 − 0.4286) × 3 ≈ 1.7143。
綜合練習 3 — 判斷設定的意義（Q9〜Q12）
最後是數值計算與概念性問題交錯的綜合題。確認你是否能用言語說明設定的意義。
Q1. Q9: 最接近「觀測相當不錯，但模型不太可靠」的組合是哪一個？
模型容易偏離時把 Q 調大，觀測可以信任時把 R 調小。
Q2. Q10: 最容易產生「更平滑但對變化跟上較慢」估計的組合是哪一個？
Q 小、R 大會強烈保留預測側，線條變平滑，但對突變會延遲。
Q3. Q11: 預測變異數 P⁻ = 0.5、觀測雜訊 R = 4 時的卡爾曼增益 K 是多少？
K = 0.5 / (0.5 + 4) ≈ 0.1111。預測的不確定性低、觀測稍可疑，所以只稍微往觀測靠。
Q4. Q12: 最恰當描述 1 維純量版卡爾曼濾波器流程的是哪一個？
卡爾曼濾波器就是「預測 → 看與觀測的差 → 用卡爾曼增益混合 → 也更新變異數」的反覆。
理解到這裡的話，你能做到的事
K 和 P 的式子，而非憑印象，說明「為什麼不會直接使用觀測」。