卡爾曼增益 — 預測和觀測中該相信哪一邊多少
卡爾曼增益 K 決定「要相信預測與觀測哪一邊多少」。抓住 Q 與 R 的比值如何支配行為的感覺。
本章的主角是卡爾曼增益 K。在純量版本下式子非常簡潔，發生什麼事情容易直觀理解。
決定 K 的式子
K = P⁻ / (P⁻ + R)P⁻ 越大代表「預測越可疑」，R 越大代表「觀測越可疑」。只要看分子與分母的關係，就能決定要相信哪一邊多少。
這個形式之所以出現，是因為將估計值以 x̂ = (1 − K)x̂⁻ + K z 線性混合時，要讓更新後的變異數 P = (1 − K)² P⁻ + K² R 達到最小值的 K 解出來就是 K = P⁻ / (P⁻ + R)。換言之，卡爾曼增益就是「將預測與觀測線性混合時，使混合後不確定性最小化的權重」。將最佳 K 代回整理後，就會得到本文使用的 P = (1 − K)P⁻ 簡化形式。本講座中這個推導採取直接接受的方式，只要記住分子是預測的不確定性，分母是預測與觀測的不確定性之和這個形式就足夠。
理解檢核 1 — 直接用式子算出 K
從 K = P⁻ / (P⁻ + R) 的分子與分母，思考要相信哪一邊多少。
Q1. 預測變異數 P⁻ = 9、觀測雜訊 R = 1 時，卡爾曼增益 K 是多少？
K = 9 / (9 + 1) = 0.9。觀測雜訊小，所以相當相信觀測。
Q2. 預測變異數 P⁻ = 1、觀測雜訊 R = 9 時，卡爾曼增益 K 是多少？
K = 1 / (1 + 9) = 0.1。觀測相當不確定，所以要多保留預測端。
Q 透過 P⁻ 影響 K
Q 並未直接出現在 K 中，但會透過 P⁻ = P + Q 起作用。越懷疑模型，預測變異數就越大，越容易往觀測方向移動。
理解檢核 2 — Q 透過 P⁻ 影響 K
在 P = 2、Q = 3、R = 5 下，先算 P⁻，再算 K。
Q1. 預測變異數 P⁻ = P + Q 是多少？
P⁻ = 2 + 3 = 5。Q 的效果先出現在這裡。
Q2. 接著卡爾曼增益 K = P⁻ / (P⁻ + R) 是多少？
K = 5 / (5 + 5) = 0.5。Q 透過 P⁻ 影響 K。
Q3. 固定 R，加大 Q，一般來說卡爾曼增益 K 會如何？
Q 增加會讓 P⁻ = P + Q 變大，往觀測靠近的比例 K 也跟著變大。
一口氣連到更新後的變異數
求出 K 之後，除了更新後的估計值，也一定要接著算更新後的變異數，這樣才能開始下一次的預測。
理解檢核 3 — 從 K 一路接到更新後的變異數
求出 K 之後，除了更新後的估計值，也務必一併算出變異數 P = (1 − K)P⁻。
Q1. 預測變異數 P⁻ = 5、觀測雜訊 R = 5 時，卡爾曼增益 K 是多少？
K = 5 / (5 + 5) = 0.5。是預測與觀測各信一半的狀態。
Q2. 接著，更新後的變異數 P = (1 − K)P⁻ 是多少？
P = (1 − 0.5) × 5 = 2.5。只採用 50% 的觀測後，不確定性（變異數）減半。
本章要帶走的直覺
卡爾曼增益把「要相信預測與觀測哪一邊多少」整合成一個數字。只要改變 Q 與 R 的比值，就能決定整體行為的特性。