λ と確率質量関数 — P(X = k) を手で出す

棒 1 本が 1 つの件数

Poisson の本体は P(X = k) です。k = 0, 1, 2, ... それぞれに「その件数が起きる確率」が割り当てられます。

件数データから確率へ橋渡しする

Ch1 では、固定区間で観測した件数を、確率モデルに繋げたいという話をしました。件数 k がどれくらいの頻度で現れるかを表現するには、k = 0, 1, 2, ... それぞれに「その件数が起きる確率」を割り当てる関数が必要です。これが確率質量関数（pmf）で、ポアソン分布ではこの関数が λ ひとつだけで決まります。

Poisson の中心式

ポアソン分布の確率質量関数（pmf）は次の形です。

3 つの部品を順に意味付けすると、式の形が覚えやすくなります。

• λ^k: 平均件数 λ の系で件数 k を 1 つの並び順で観測したときの「重み」。
• k!: 同じ k 件でも並び順を区別しないための割り戻し。たとえば k = 2 のとき「先に A → 後で B」と「先に B → 後で A」の 2 通りを 1 通りとして数えるため 2! で割ります。k = 3 なら 6 通りを 1 通りとみなすため 3! で割ります。
• e^(−λ): 全体の確率を 1 に揃えるための規格化係数。k = 0, 1, 2, ... についての λ^k / k! をすべて足すと、テイラー展開から Σ λ^k / k! = e^λ なので、これを 1 にするには e^(−λ) を掛けるのが自然です。e は天下りに出てくるのではなく、「全部足したら 1」を実現する係数として現れます。

この 3 つを組み合わせると、調整だと捉える感覚で P(X = k) を読めるようになります。

計算問題に進む前の準備: 近似値表

これから手で P(X = k) を計算するときに、毎回 e^(−λ) を厳密に求めるのは手間です。下の近似値表をブックマークして、必要なときに参照してください。たとえば λ = 2 の問題を解くときは e^-2 ≈ 0.1353 を使います。

階乗は分母に出てきます: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24。件数なので k は 0 以上の整数だけを扱います。

隣り合う棒は、毎回ゼロから計算しなくてもよい

Poisson の pmf には便利な関係があります。

たとえば λ = 2 のとき、P(3) が分かれば P(4) は × 2 / 4。シミュレータやコードでもこの関係をよく使います。

山の頂上は λ 付近に来る

λ を大きくすると棒グラフの山は右へ動きます。整数の λ では山の頂上が 2 本並ぶこともあります。たとえば λ = 3 では 2 件と 3 件が同じ高さです。

第 2 章のまとめ

• Poisson の pmf は P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!。
• 0 件・1 件・2 件を手で計算すると、棒グラフの意味が急に具体的になる。
• 隣り合う確率は P(k + 1) = P(k) × λ / (k + 1) でつながっている。