예측 단계 — 모델로 다음 상태를 예측하다
정상 상태 모델에서는 값은 그대로 변하지 않지만, 불확실성은 시간이 지남에 따라 증가한다. P⁻ = P + Q 를 케이스 스터디로 확인한다.
칼만 필터는 매번 곧바로 관측을 그대로 사용하지 않습니다. 먼저 모델을 사용해 "다음은 이렇게 될 것"이라고 예측하고, 그다음에 관측과 섞습니다.
이 강좌의 모델은 최소 구성
여기서는 1차원 정상 상태 모델만 사용합니다. 정상 상태 모델이란 "대상은 움직이지 않는다(위치가 변하지 않는다)"고 가정하는 모델로, "다음 시각도 일단은 이전과 같은 값일 것"이라고 둡니다.
x̂⁻ = x̂이 단순화 덕분에 지금 중요한 예측과 업데이트의 역할 분담에 집중할 수 있습니다.
불확실성은 시간이 지나면 커진다
값 자체는 변하지 않더라도, 미래로 갈수록 불확실성은 증가합니다. 이것을 분산 P 로 나타내며 예측에서는 다음 식으로 업데이트합니다.
P⁻ = P + QQ 는 "모델이 얼마나 틀리기 쉬운가"를 나타내는 양입니다. 관측이 오지 않은 채 나아갈수록 P 는 커집니다.
이해도 확인 1 — 예측 단계를 손으로 따라가기
전 시각의 추정으로부터 예측값 x̂⁻ 과 예측 분산 P⁻ 을 만듭니다.
Q1. 전 시각의 추정이 x̂ = 12, P = 4, Q = 1.5 일 때, 정상 상태 모델의 예측값 x̂⁻ 은 얼마입니까?
정상 상태 모델에서는 x̂⁻ = x̂ 이므로, 값은 12 그대로 변하지 않습니다.
Q2. 같은 조건에서 예측 분산 P⁻ 은 얼마입니까?
P⁻ = P + Q = 4 + 1.5 = 5.5. 값 자체는 변하지 않더라도 불확실성은 조금 증가합니다.
Q3. 초기 분산 P₀ = 2, Q = 0.5 일 때, 관측이 오지 않은 채 예측만 3회 계속하면 분산은 얼마가 됩니까?
2 + 0.5 + 0.5 + 0.5 = 3.5. 관측이 오지 않을수록 예측만으로는 불확실성이 증가합니다.
Q 의 크기에 따라 동작이 바뀐다
이해도 확인 2 — Q 의 역할 잡기
Q 를 바꾼 케이스 A·B 를 비교하며, Q 가 무엇을 나타내는지 말로 되돌립니다.
Q1. 직전의 분산 P = 1, Q = 0.01 일 때의 예측 분산 P⁻ 은 얼마입니까?
P⁻ = 1 + 0.01 = 1.01. Q 가 작으므로 불확실성은 거의 증가하지 않습니다.
Q2. 같은 P = 1, Q = 4.0 일 때의 예측 분산 P⁻ 은 얼마입니까?
P⁻ = 1 + 4.0 = 5.0. Q 가 클수록 예측의 불확실성은 빠르게 증가합니다.
Q3. Q 가 꽤 작은 경우를 가장 자연스럽게 나타내는 설명은 무엇입니까?
정답은 1번입니다. Q 가 작다는 것은 모델이 잘 맞는다고 여기고 있는 상태이므로, 예측을 강하게 믿기 쉬워집니다.
이 장에서 가져가는 직감
예측은 "값은 그대로 변하지 않고, 불확실성은 조금씩 증가하는" 조작입니다. 다음 장에서는 관측이 왔을 때 이 예측을 얼마나 움직일지 살펴봅니다.